Analyse fonctionnelle/Functional Analysis Probabilités/Probability Theory Random Euclidean embeddings in spaces of bounded volume ratio

Let (R , ‖ · ‖) be the space R equipped with a norm ‖ · ‖ whose unit ball has a bounded volume ratio with respect to the Euclidean unit ball. Let Γ be any random N×n matrix with N > n, whose entries are independent random variables satisfying some moment assumptions. We show that with high probability Γ is a good isomorphism from the n-dimensional Euclidean space (R, | · |) onto its image in (R , ‖ · ‖): there exist α, β > 0 such that for all x ∈ R, α √ N |x| ≤ ‖Γx‖ ≤ β √ N |x|. This solves a conjecture of Schechtman on random embeddings of `2 into ` N 1 . Plongements aléatoires de l’espace euclidien dans un espace à volume ratio borné Résumé. Soit (R , ‖·‖) l’espace R muni d’une norme ‖·‖ dont la boule unité est à volume ratio borné par rapport à la boule unité euclidienne. On montre qu’une matrice aléatoire Γ, de taille N × n (N > n), dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes, vérifiant certaines hypothèses de moments, réalise avec une grande probabilité, un bon isomorphisme de l’espace euclidien de dimension n, de norme | . |, sur son image dans (R , ‖ · ‖): il existe α, β > 0 tels que pour tout x ∈ R, α √ N |x| ≤ ‖Γx‖ ≤ β √ N |x|; ce qui démontre une conjecture de Schechtman sur les plongements aléatoires de `2 dans ` N 1 . Version française abrégée Soit N ≥ n. Dans cette Note, nous nous intéressons à des sections “aléatoires” de dimension n de corps convexes de R , dont l’espace est engendré par les n colonnes de matrices Γ de taille N × n, dont les coefficients sont des variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (Ω,A,P). 1This author is partially supported by the NSF Grant DMS-0245380. 2This author holds the Canada Research Chair in Geometric Analysis. 3This author is partially supported by a New Faculty Research Grant of the University of California, Davis.